Дифференциал разделять и раздавать

Содержание

Как работает дифференциал.

Дифференциал выполняет две функции:

  • передача энергии двигателя колёсам, позволяя им вращаться с разной скоростью;
  • уменьшение передаточного числа от двигателя к колёсам;

Для чего нужен дифференциал.
Когда Вы поворачиваете, колёса автомобиля вращаются с разной скоростью. Вы, можете убедиться в этом посмотрев анимацию, там же, видно, что колёса проходят разный путь, колесо, которое движется по меньшему радиусу проходит меньший путь. Это также можно видеть из формулы, которая описывает длину окружности L=2*pi*r, меньше радиус — меньше путь. Заметим также, что траектория передних и задних колёс отличается.

Для переднеприводного автомобиля ведущие колёса передние, для заднеприводного соответственно задние. Ведущие колёса соединены друг с другом таким образом, что двигатель или трансмиссия могут вращать сразу оба колёса. Другая пара колёс, назовём их ведомыми, не связаны жёстко между собой и могут вращаться независимо друг от друга. Если бы на вашем автомобиле не было дифференциала, колёса вращались бы с одинаковой скоростью и поворачивать на таком авто было бы непросто. Одному колесу пришлось бы в таком случае скользить. При качестве современных дорог и шин, чтобы сделать это придётся приложить много усилий.
Как работает дифференциал.
Дифференциал — это устройство, которое разделяет вращающий момент двигателя, позволяя каждому колесу вращаться с разной скоростью. Дифференциал применяется во всех современных машинах и грузовиках, а также во многих полноприводных машинах. В полноприводных автомобилях дифференциал ставится на переднюю и заднюю пару колёс, так как каждая пара является ведущей. Некоторое время полноприводные системы не имели дифференциала между передними и задними колёсами.

Открытый дифференциал.
Мы начнём с самого простого типа дифференциала название которого — открытый дифференциал.
Когда машина движется прямо по дороге, оба ведущих колеса вращаются с одинаковой скоростью. Ведущая шестерня вращает ведомое зубчатое колесо, на котором закреплены сателлиты. При движении автомобиля прямо ни один из сателлитов не вращается вокруг своей оси.
Заметим что количество зубцов на ведущем валу меньше чем на зубчатом колесе. Возможно, Вы слышали такой термин, как передаточное число заднего моста. Если передаточное число равно 4 к 10, это значит что число зубцов на ведущей шестерне относится к числу зубцов на зубчатом колесе как 4 к 10.
Когда автомобиль заворачивает колёса вращаются с разной скоростью.
На анимации выше можно видеть что при повороте сателлиты начинают вращаться, позволяя колёсам двигаться с разной скоростью.

Дифференциал и сцепление с дорогой.
Открытый дифференциал всегда создает одинаковый крутящий момент на каждое колесо.
Существует два фактора, которые определяют какой крутящий момент будет приложен к колесу:

  • сцепление колеса с дорогой;
  • мощность двигателя;

Когда дорога сухая и сцепление колеса с дорогой хорошее, вращающий момент, который будет приложен к колесу определяет двигатель и коробка передач. Если же сцепление колеса с дорогой плохое, предположим на льду, величина крутящего момента ограничится таким числом при котором колеса не будут проскальзывать. Таким образом, даже при достаточном вращающем моменте от двигателя, необходимо обеспечить хорошее сцепление с дорогой.

На тонком льду.
При управлении машиной на льду для того, чтобы колеса при старте не пробуксовывали, нужно трогаться со второй или даже с третьей передачи. При этом передается меньший вращающий момент на колеса.
А что будет если одно ведущее колесо будет на земле, а второе на льду? Возникает проблема на машине с открытым дифференциалом.
Надо помнить, открытый дифференциал передает одинаковый крутящий момент к обоим колесам. Максимальная величина крутящего момента будет ограничиваться моментом, который можно приложить к колесу, находящемуся на льду, а этот момент очень мал и колесо, имеющее хорошее сцепление с дорогой, получит такой же момент. В итоге автомобиль будет двигаться очень медленно.
Внедорожник.
Открытый дифференциал может создать много неудобств при движении по пересеченной местности. Если даже у машины все ведущие и установлен открытый дифференциал, она все равно может застрять. Если одно из передних или задних колес оторвется от земли и будет вращаться в воздухе и двигаться будет невозможно.
Решение этой проблемы — это дифференциал повышенного трения. Дифференциал повышенного трения используют различные механизмы для обеспечения нормальной разности скоростей. Когда одно из колес скользит этот крутящий момент передается другому колесу.
Вискомуфта.
Вискомуфта часто находит применение в полноприводных автомобилях. Она обычно применяется для соединения передней и задней пары колёс, при этом если передние начинают проскальзывать крутящий момент передаётся на задние колёса и наоборот.
Вискомуфта имеет два набора пластин внутри герметичного кожуха, который заполнен жидкостью, как показано выше. Каждый набор пластин соединён с валом. При нормальных условиях оба набора пластин в жидкости вращаются с одинаковой скоростью.
Когда одна пара колёс начинает вращаться быстрее, это свидетельствует о том, что колёса проскальзывают. Набор пластин соответствующих этому колесу начинает вращаться быстрее, но за счёт свойств жидкости скорости пластин задних и передних колёс выравниваются. Прикладывается более высокий крутящий момент на колёса, которые не скользят.

К примеру, когда у автомобиля происходит пробуксовка передних колёс, вискомуфта замыкается и передаёт момент на задний мост. Когда машина поворачивает разница скоростей меньше чем когда одно колесо проскальзывает. Чем быстрее вращаются диски относительно друг друга, тем больший крутящий момент передаёт вискомуфта. Муфта не мешает на поворотах, потому что величина крутящего момента во время поворота очень мала. Передача крутящего момента не будет происходить до тех пор, пока не начнётся скольжение. Простой опыт с яйцом поможет понять как работает вискомуфта. Если поставить яйцо на кухонный стол, скорлупа и желток будут неподвижны. Теперь если раскрутить яйцо, то желток будет стараться догнать скорлупу.
Чтобы доказать что желток вращается, остановим быстро яйцо, а затем снова отпустим — яйцо будет вращаться(если, конечно, оно не вкрутую). В этом эксперименте мы используем силу трения между скорлупой и желтком. В вискомуфте усилие прикладывается между жидкостью и набором пластин аналогично яйцу.
Самоблокирующийся дифференциал.
Самоблокирующийся дифференциал состоит из тех же частей что и открытый, плюс к нему добавляется электрический, пневматический или гидравлический механизм для блокировки двух выходных шестерёнок вместе. Этот механизм обычно активируется вручную с помощью переключателя, после активации оба колеса будут вращаться с одинаковой скоростью. Если одно колесо оторвётся от земли второе будет продолжать вращаться, как будто ничего не изменилось.
Дифференциал Torsen — чисто механическое устройство и не содержит электроники или вязких жидкостей. Как только одно колесо теряет сцепление с дорогой, система связывает колёса вместе. Например, если дифференциал Torsen разработан с отношением 5: 1, это позволяет в пять раз больше нагружать колесо, которое имеет хорошее сцепление. Torsen не уравнивает крутящий момент на колёсах, а направляет его на более ”загруженную” ось.

Принцип работы дифференциала

Современное машиностроение подразумевает большое количество вариаций автомобильного дифференциала. Это обусловлено тем, что индустрия постоянно развивается: машины имеют не только задний и передний привод, но также и полный. Вдобавок классификация узлов автомобиля разделяется по строению самого механизма. «Начинка» транспортных средств становится сложнее, но даже начинающим автовладельцам стоит знать принцип работы дифференциала.

Назначение

В автомобильной трансмиссии одной из самых важных деталей является дифференциал. Его задача состоит в том, чтобы правильно распределять и изменять крутящий момент двух потребителей, которые имеют различную угловую скорость.

Работа дифференциала заключается в том, чтобы давать правильные сигналы колёсам от коробки передач и напрямую от двигателя. Данный автомобильный узел имеет планетарное строение, что позволяет ему выполнять свою работу, даже если количество оборотов колёс в один промежуток времени имеет различие. Такое возможно, когда авто входит в поворот или начинает буксовать.

Дифференциал позволяет ведущим колёсам автомобиля вращаться с различной угловой скоростью

При всех достоинствах у простых вариантов дифференциалов есть и важные недостатки, и самый главный из них следующий: частота вращения на колёса распределяется не только в соотношении 50/50, но может стать и 100/0, когда, например, автомобиль застревает на льду или в грязи.

Наиболее частыми местами для установки дифференциала считаются:

  • Коробка передач, в случае с автомобилями, имеющими передний привод;
  • Раздаточная коробка или картер переднего и заднего моста, если авто имеет полный привод;
  • Задний мост, на заднеприводных ТС.

Кроме того дифференциал условно делят на несколько разновидностей:

  • Червячный, который считается универсальным видом;
  • Конический — его чаще ставят между колёсами;
  • Цилиндрический — зачастую используется для автомобилей с полным приводом и устанавливается между осями.

Существует также разделение дифференциалов по принципу симметричности. Выделяют симметричные и несимметричные узлы. Каждый из типов используется в определённых ситуациях. Несимметричная конструкция используется в полноприводных автомобилях. Дифференциал устанавливается между осями, и даёт различные пропорции крутящего момента на каждую из них. Для симметричного дифференциала подходит установка на главные оси. Это позволяет распределить между двумя колёсами равный крутящий момент.

Работа дифференциала на заднеприводном автомобиле

По месту расположения разделяют межосевой и межколёсный узел. Межколёсный дифференциал устанавливается между двумя колёсами, которые расположены на одной оси. Межосевой дифференциальный узел монтируется строго посередине между двух параллельных осей.

Устройство и принцип работы дифференциала

Для того чтобы определиться, как работает дифференциал в заднеприводной машине необходимо понять, что задняя ведущая ось вращается при помощи карданной передачи. После этого с помощью редуктора осуществляется поворот полуоси с колесом на ней. Дифференциалу удаётся совместить вышеперечисленные задачи так, чтобы колёса могли крутиться с различной скоростью. На автомобилях с передним приводом местонахождение и принцип работы дифференциального узла отличается. В данном случае крутящий момент от коробки передач сразу попадает на узел. После чего оказывается воздействие непосредственно на валы привода. Что касается полного привода, то для того чтобы ТС могло проезжать по разным участкам дорог, требуется не один, а целых три узла: между осями и между колёсами. В остальном принцип действия не отличается от вышеупомянутых.

Элементы, которые в дифференциале считают основными, это:

  • Полуосевые шестерни;
  • Шестерни сателлитов;
  • Корпус.

Сателлиты по своему строению похожи на планетарный редуктор. Основная функция сателлитов заключается в том, чтобы совмещать корпус и полуосевую шестерню. Шлицы соединяют корпус и шестерню с теми колёсами, которые в автомобиле используются в качестве ведущих.

Если шестерни, используемые в дифференциале, имеют разное количество зубьев и разную направленность крутящего момента, то подобные механизмы относятся к несимметричным. В случае когда у шестерёнок одинаковое количество зубьев — дифференциал симметричный.

Корпус — это «оболочка» узла, его основная часть, в которой размещается остальные части механизма.

Что такое блокировка дифференциала в автомобиле

Блокировка дифференциального узла — это крайне важная функция, которая позволяет на время остановить работу одной из шестерёнок. Это необходимо в том случае, если одно из колёс по каким-либо причинам продолжает крутиться, а второе стоит на месте. Такая ситуация может произойти в случае, когда машина перемещается по неравномерно заледеневшей дороге.

Это интересно! Стоит применять блокировку в случае движения на небольшой скорости по труднопроходимым дорогам. Именно тогда вероятность застрять весьма высока. В других ситуациях блокировать дифференциал не следует, так как автомобиль стремится ехать по прямой и становится практически неуправляемым.

Разновидности механизма по способу блокировки

Временная остановка одного из работающих механизмов спасает не только от пробуксовки, но и от серьёзных проблем с неуправляемыми заносами. Можно заблокировать как колесо, так и половину оси. В зависимости от конфигурации автомобиля устанавливается дифференциал с ручным, самоблокировочным или электронным типом блокировки.

С ручной блокировкой

Дифференциал с ручным способом блокировки считают одним из наиболее примитивных. Отключение в ручном режиме осуществляется при помощи кнопок или рычагов, которые располагаются в салоне автомобиля. Подобный вид чаще всего используется в машинах, которые имеют полный привод, иными словами, во внедорожниках.

Планетарная система принимает форму муфты и блокирует возможность движения сателлитов. Эксперты настоятельно рекомендуют использовать ручную блокировку только после того, как будет выжата педаль сцепления.

Это важно! После блокировки дифференциала следует сбросить скорость на минимум, особенно если в этот момент автомобиль пересекает труднопроходимую местность. После того, как один из узлов заблокируется, будет гораздо сложнее поворачивать, а, значит, транспортное средство будет легче вести по прямой.

Функция ручной блокировки применяется на внедорожниках, которые обладают рамной конструкцией. Желательно использовать ручную блокировку, уже имея хороший стаж вождения, так как управлять таким автомобилем значительно сложнее.

Toyota Land Cruiser 100 является внедорожником, имеющим кнопку блокировки межосевого дифференциала

Транспортные средства, на которых имеется ручная блокировка дифференциала:

  • Toyota Land Cruiser;
  • Toyota Hilux;
  • Шевроле Нива.

Самоблокирующийся

Данный вид узлов хорошо приспособлен к тяжёлым условиям вождения, так как значительно увеличивают проходимость авто. Основной принцип самостоятельной блокировки заключается в том, что определённые условия движения способствуют автоматической блокировке дифференциала. Если разница в полуосях становится слишком значительной, срабатывает механизм насоса, который нагнетает давление масла. После этого пластины начинают сближаться, а скорость колеса снижается. Этот метод позволяет правильно распределить нагрузку на колёса при буксовке или заносе.

Это должен знать каждый водитель:  Ford Galaxy 2.3 Trend овальная галактика

Существует множество известных автомобильных самоблокирующихся дифференциалов. Например, узлы фирм Торсен и Квайф. Также примером подобного устройства является модель «speed sensitive». Механизм моментально фиксирует различную скорость вращения осей транспортного средства. Модель автомобиля, где стоит именно этот тип дифференциала — Toyota Rav4 с вискомуфтой. Если одна из осей начинает двигаться с намного большей скоростью, то муфта срабатывает и начинает тормозить движение предотвращая аварийную ситуацию! Как только скорость снижается, сила трения уменьшается и возвращает независимость частям узла.

Работа дифференциала Торсен основана на особенностях работы червячной передачи

На спецтехнике устанавливается другой вариант самоблокирующихся дифференциальных механизмов — кулачковые пары. Примером может послужить «ГАЗ-66». Подобная конструкция значительно увеличивает проходимость машины, однако вполне может создать опасные ситуации, когда дифференциал замыкается самостоятельно. Схема его действия очень проста и понятна: вместо «планетарки» в механизме применяются зубчатые пары. Они вращаются, если в скорости колёс возникают небольшие расхождения, однако если разница увеличиваются, то устройства входят в клин.

С электронным управлением

Блокировка узла в данном случае происходит после передачи датчиками информации в управление. Система управления может не только заблокировать дифференциальный узел, но и автоматически контролировать сцепление и тягу колёс. Датчики контролируют частоту оборотов всех осей, что значительно упрощает задачу управления автомобилем на разных поверхностях дорожного покрытия.

Активного действия

На сегодняшний день активные дифференциалы являются одними из наиболее эффективных в сравнении со своими аналогами. Подобный механизм был изобретён сравнительно недавно, однако уже набрал популярность. Принцип его работы в том, чтобы ускорить действие колёс и полуоси. Несмотря на то, что подобное решение полностью противоположно остальным, такой способ оказался наиболее удачным.

Активный дифференциал задней оси по команде центрального процессора увеличивает тягу на внешнем колесе автомобиля

Подобные разработки не только оптимизируют работу, но и позволяют снизить риски поломки автомобиля. Кроме того уменьшается процентное соотношение аварийных ситуаций на дорогах из-за неправильной работы дифференциала. Постоянное улучшение делает вождение любых наземных транспортных средств более простым, безопасным и удобным. Главное — это своевременно проверять состояние шестерёнок и всех остальных деталей, которые оказывают непосредственное влияние на работу дифференциального узла. От этого зачастую зависит не только безотказность личного автомобиля, но и жизнь водителя и пассажиров.

Что такое дифференциальное уравнение и зачем оно нужно?

На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений – без этого не обходится ни одна прикладная задача, будь это расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате принятой макроэкономической политики. Эти уравнения также важны для ряда других наук, таких как химия, биология, медицина и т.д. Ниже мы приведем пример использования дифференциальных уравнений в экономике, но перед этим кратко расскажем об основных типах уравнений.

Дифференциальные уравнения – простейшие виды

Мудрецы говорили, что законы нашей вселенной написаны на математическом языке. Конечно, в алгебре есть много примеров различных уравнений, но это, большей частью, учебные примеры, неприменимые на практике. По-настоящему интересная математика начинается, когда мы хотим описать процессы, протекающие в реальной жизни. Но как отразить фактор времени, которому подчиняются реальные процессы – инфляция, выработка продукции или демографические показатели?

Вспомним одно важное определение из курса математики, касающееся производной функции. Производная является скоростью изменения функции, следовательно, она может помочь нам отразить фактор времени в уравнении.

То есть, мы составляем уравнение с функцией, которая описывает интересующий нас показатель и добавляем в уравнение производную этой функции. Это и есть дифференциальное уравнение. А теперь перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений для чайников.

Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид $y’(x)=f(x)$, где $f(x)$ – некоторая функция, а $y’(x)$ – производная или скорость изменения искомой функции. Оно решается обычным интегрированием: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Второй простейший тип называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Такое уравнение выглядит следующим образом $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Видно, что зависимая переменная $y$ также входит в состав конструируемой функции. Уравнение решается очень просто – нужно «разделить переменные», то есть привести его к виду $y’(x)/g(y)=f(x)$ или $dy/g(y)=f(x)dx$. Остается проинтегрировать обе части $$\int \frac=\int f(x)dx$$ – это и есть решение дифференциального уравнения разделяющегося типа.

Последний простой тип – это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид $y’+p(x)y=q(x)$. Здесь $p(x)$ и $q(x)$ – некоторые функции, а $y=y(x)$ – искомая функция. Для решения такого уравнения применяют уже специальные методы (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной, метод подстановки Бернулли).

Есть более сложные виды уравнений – уравнения второго, третьего и вообще произвольного порядка, однородные и неоднородные уравнения, а также системы дифференциальных уравнений. Для их решения нужна предварительная подготовка и опыт решения более простых задач.

Большое значение для физики и, что неожиданно, финансов имеют так называемые дифференциальные уравнения в частных производных. Это значит, что искомая функция зависит от нескольких переменных одновременно. Например, уравнение Блека-Шоулса из области финансового инжиниринга описывает стоимость опциона (вид ценной бумаги) в зависимости от его доходности, размера выплат, а также сроков начала и конца выплат. Решение дифференциального уравнения в частных производных довольно сложное, обычно нужно использовать специальные программы, такие как Matlab или Maple.

Пример применения дифференциального уравнения в экономике

Приведем, как и было обещано, простой пример решения дифференциального уравнения. Вначале поставим задачу.

Для некоторой фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет вид $MR=10-0,2q$. Здесь $MR$ – маржинальная выручка фирмы, а $q$ – объем продукции. Нужно найти общую выручку.

Как видно из задачи, это прикладной пример из микроэкономики. Множество фирм и предприятий постоянно сталкивается с подобными расчетами в ходе своей деятельности.

Приступаем к решению. Как известно из микроэкономики, маржинальная выручка представляет собой производную от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж.

С математической точки задача свелась к решению дифференциального уравнения $R’=10-0,2q$ при условии $R(0)=0$.

Проинтегрируем уравнение, взяв первообразную функцию от обеих частей, получим общее решение: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$

Чтобы найти константу $C$, вспомним условие $R(0)=0$. Подставим: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Значит C=0 и наша функция общей выручки принимает вид $R(q)=10q-0,1q^2$. Задача решена.

Другие примеры по разным типам ДУ собраны на странице: Дифференциальные уравнения с решениями онлайн.

Раздаточная коробка – использование полного привода по максимуму

Огромная популярность, которую в последнее время завоевали автомобили с повышенной проходимостью, паркетные внедорожники и кроссоверы, — не случайна. Привод на все колеса дает водителю преимущества при движении как в городе,так и на пересеченной местности. В таком автомобиле раздаточная коробка предназначена для максимальной реализации достоинств полного привода.

Что такое раздаточная коробка

В автомобилях с моноприводом крутящий момент, созданный двигателем и преобразованный коробкой передач, передается непосредственно на ведущие колеса. Если же авто имеет привод на все четыре колеса, для наиболее рационального использования крутящий момент нужно распределить между передней и задней осями. Также иногда возникает необходимость изменить количество крутящего момента, передаваемого на определенную ось во время движения.

Раздаточная коробка в автомобиле

Задачу распределения усилия от двигателя между передней и задней осями выполняет раздаточная коробка. Подобно коробке передач, она способна до определенной степени увеличить значение крутящего момента, что особенно важно при эксплуатации автомобиля в условиях тяжелого бездорожья.

Иногда этот механизм выполняет особые функции на спецтехнике (пожарные автомобили, сельскохозяйственная и строительная техника). Задача раздаточной коробки состоит в том, чтобы передать часть крутящего момента на специальное оборудование: пожарный насос, тросовая лебедка, механизм подъемного крана и т. д.

Что внутри

Раздаточная коробка, иногда называемая просто «раздаткой», устанавливается между коробкой передач и валами, ведущими к осям. Несмотря на большое разнообразие конструкций, некоторые детали раздаточной коробки имеются в любой модели:

  • ведущий вал (передает крутящий момент от КПП на «раздатку»);
  • механизм блокировки и межосевой дифференциал;
  • зубчатая или цепная понижающая передача (изменяет передаточное число);
  • актуатор (отвечает за включение блокировки);
  • карданные валы привода передней и задней оси;
  • синхронизатор, который позволяет включать понижающий ряд на ходу.

Раздаточная коробка «в разрезе»

«Раздатка» представляет собой корпус, в который входит ведущий вал двигателя, а выходят два приводных карданных вала к передней и задней осям. Устройство раздаточной коробки аналогично устройству коробки передач: ее корпус — это закрытый картер, масляная ванна которого обеспечивает смазку дифференциала и механизма блокировки. Рычаг или кнопки в салоне осуществляют переключение.

Как работает раздаточная коробка

Базовой функцией раздаточной коробки является подключение или отключение одного из мостов. В конструкции классических внедорожников и полноприводных грузовиков крутящий момент постоянно передавался на задний ведущий мост. Передняя ось, в целях экономии топлива и ресурса его узлов, подключалась только для преодоления сложных участков дороги, либо при сложных дорожных условиях (дождь, лед, снег). Этот принцип сохранен и в современных автомобилях, с той разницей, что постоянно ведущей теперь является передняя ось.

Изменение крутящего момента, его распределение между всеми ведущими осями, — это вторая по важности функция «раздатки». Межосевой дифференциал раздает крутящий момент между передней и задней осями, при этом они могут получить равные усилия (симметричный дифференциал), либо разделенные в установленной пропорции (несимметричный дифференциал).

Межосевой дифференциал позволяет осям вращаться с разным количеством оборотов. Это требуется при движении по хорошей асфальтированной дороге для снижения износа покрышек и экономии топлива. Когда автомобиль покидает дорогу и требуется выжать из полного привода максимум, включается блокировка межосевого дифференциала: оси жестко соединены друг с другом и могут вращаться только с одинаковой скоростью. Предотвращая пробуксовку, такая схема работы усиливает внедорожный потенциал.

Следует отметить, что функция блокировки дифференциала имеется только на небольшом количестве раздаточных коробок, установленных на классические внедорожники, спецтранспорт и военные грузовики. Столь распространенные в наше время кроссоверы и паркетные внедорожники не рассчитаны на движение по действительно серьезному бездорожью, поэтому они лишены этой функции с целью удешевления.

Виды межосевого дифференциала

В раздаточных коробках применяется три различные системы блокировки межосевого дифференциала, которые устанавливают на автомобили, различающиеся по внедорожным качествам.

Фрикционная многодисковая муфта – это самый современный вид блокировки дифференциала «раздатки». Контролируемое усилие сжатия набора фрикционных дисков, примененных в муфте, позволяет распределять крутящий момент по осям в зависимости от конкретных дорожных условий. При нормальных дорожных условиях оси загружаются поровну. Если одна из осей начинает прокручиваться вхолостую (проскальзывать), фрикционные диски сжимаются, блокируя межосевой дифференциал частично или полностью. В этот момент мост, который лучше всего «держится за дорогу», получает больше крутящего момента двигателя. Для этого актуатор дает команду электродвигателю или гидравлическому цилиндру.

Вискомуфта, или вязкостная муфта, устаревшая, но дешевая и простая в работе блокировка дифференциала. Она состоит из комплекта дисков, помещенного в корпус, наполненного силиконовой жидкостью. Диски соединяются со ступицами колес и корпусом муфты. Когда скорости мостов начинают различаться, силикон становится более вязким, блокируя диски. Недостатками устаревшей конструкции можно назвать склонность к перегреву во время работы, а также действие с запозданием.

Дифференциал Torsen, в силу ограниченной прочности, применяется на «паркетных» внедорожниках и универсалах повышенной проходимости. Как и вискомуфта, он перебрасывает крутящий момент на ось, которая меньше всего проскальзывает. Актуатор дифференциала Торсена способен распределить не более 80% тяги на загруженную ось: мост, который пробуксовывает, в любом случае будет иметь не менее 20% крутящего момента. Конструкция дифференциала состоит из червячных шестерней, за счет трения которых образуется блокировка.

Управление раздаточной коробкой

Старые внедорожники, грузовики и спецтранспорт обычно имеют ручное (механическое) управление «раздаткой». Для подключения или отключения одного из мостов, а также для включения дифференциала или пониженного ряда используется рычаг, обычно расположенный в полу кабины рядом с рычагом КПП. Для его включения иногда требуется полная остановка автомобиля.

Более новые модели имеют ручное электрическое управление: все режимы работы раздаточной коробки выбираются при помощи кнопок на приборной панели. Если в «раздатке» есть синхронизатор, то остановка автомобиля не потребуется.

В современных автомобилях применяют автоматическое управление раздаточной коробкой. При выборе автоматического режима бортовой компьютер сам определяет пробуксовку мостов, после чего перенаправляет крутящий момент. Если нужно, включает блокировку дифференциала. Водитель может отключить автоматику и выполнять все работы на ходу самостоятельно. Рычаг управления отсутствует.

Все виды кроссоверов и универсалов повышенной проходимости имеют полностью автоматизированный механизм управления раздаточной коробкой. Водитель не может сам управлять механизмом, так как все решения принимаются электроникой.

Дифференциал — это что такое? Для чего предназначен и как устроен дифференциал автомобиля

Любой современный автомобиль включает в себя множество полезных и необходимых узлов и агрегатов, которые обеспечивают работоспособность транспортному средству. Многие из них отвечают за передачу крутящего момента от силового агрегата к колесам, при этом немалая роль отводится дифференциалу. Это тот узел, без которого шины проскальзывали бы при каждом вхождении в поворот. А чтобы этого не произошло нужно, чтобы колеса вращались с разной угловой скоростью. Вот об этом как раз и поговорим в данной статье.

Что это за зверь такой?

Что же это за механизм такой – дифференциал? С его помощью передается крутящий момент от коробки переключения передач (КПП), и при этом вся мощность делится между ведущими колесами поровну. Но бывают моменты, когда это равновесие нарушается, о чем немного позднее. Главная задача дифференциала заключается в том, чтобы позволить ведущим колесам вращаться с разной угловой скоростью.

Это должен знать каждый водитель:  Volkswagen Transporter T5 с пробегом нежный привод двери и вода в салоне

Если в трансмиссии транспортного средства лишь одна ведущая ось, то данный механизм ставится между приводами колес и зовется межколесным редуктором. В случае же полноприводных автомобилей агрегат располагается уже между ведущими осями и именуется межосевым дифференциалом.

Месторасположение механизма

Что касается того, где может располагаться дифференциал, то это обычно следующие места:

  • У заднеприводных автомобилей – это картер моста, где дифференциал соединен с шестерней главной передачи.
  • У транспортных средств с передним приводом механизм также соединен с главной передачей и находится в корпусе КПП.
  • У полноприводного транспорта дифференциал находится по его обеим сторонам: и сзади, и спереди.

Те полноприводные автомобили, у которых предусмотрено отключение привода, как правило, оснащаются раздаточной коробкой. С целью оптимального распределения крутящего момента на все колеса, предусмотрен еще один третий дифференциал. Он ставится в раздатке между осями.

Первая необходимость

Теперь уже немного понятно, что такое дифференциал – это, своего рода, разновидность планетарной передачи. Но в чем заключается его необходимость? Данным агрегатом автомобили оснащаются не просто так, для этого есть весомый повод. И чтобы в этом разобраться, необходимо знать некоторую особенность.

При вхождении автомобиля в поворот, в особенности затяжной (движение по кольцу), его колеса проходят разный путь. Но поскольку в отсутствие дифференциала они связаны между собой жестко, то одно из колес будет неизбежно проскальзывать, не поспевая за другим. Стоит заметить, что внешнее колесо проходит более длинный путь, чем внутреннее. В связи с этим оно и вращаться должно быстрее, что позволит сохранить стабильность транспортного средства на дороге.

В чем может быть проблема? Вот здесь мы и подходим к сути и пониманию, что такое дифференциал. Это механизм, который позволяет избежать многих нюансов. Из-за того, что внутреннее колесо пробуксовывает, есть свои нежелательные последствия. Для автомобилей с задним приводом это может привести к заносу, а переднеприводное транспортное средство рискует потерять контроль управления при входе в поворот.

Устранить проблему можно, обеспечив разное вращение колесам. Собственно, для этого и было создано такое незамысловатое шестеренчатое устройство, как дифференциал.

Устройство дифференциала

Автомобильному дифференциалу скоро исполнится двести лет. В его конструкции, несмотря на некоторые усовершенствования, все же сохранились ключевые особенности. Что представляет собой полный дифференциал? По сути, это та же самая планетарная передача, состоящая из набора разнообразных шестерней.

Крутящий момент от силового агрегата автомобиля передается посредством карданного вала на коническую зубчатую передачу, состоящую из двух шестерен: ведущей (закрепленная на кардане) и ведомой. Иначе это зовется главной передачей. Ведомый элемент закреплен на корпусе, через который передает вращение шестерням-сателлитам, находящимся в зацеплении с солнечными шестернями. Они в свою очередь жестко закреплены в полуосях ведущих колес.

Принцип работы дифференциала

Пока транспортное средство движется прямо, сателлиты находятся в неподвижном состоянии. При этом ведущая шестерня вращается с той же скоростью что и солнечные элементы. В результате этого крутящий момент распределяется на все колеса поровну, и они имеют равную угловую скорость.

Но стоит автомобилю начать поворот, как все меняется, передний дифференциал (или задний) при этом «включается» в работу автономно. Начинают вращаться сателлиты, благодаря которым солнечным шестерням сообщается разная угловая скорость. Следовательно, и колеса вращаются по-разному.

При этом на внутреннее колесо, которое двигается по малому радиусу, действует большее сопротивление, что приводит к снижению скорости его вращения. Другое колесо, что расположено с внешней стороны, наоборот испытывает меньшее сопротивление, за счет чего его скорость вращения увеличивается. Благодаря этому автомобиль совершает повороты плавно, избегая пробуксовок.

Замедление вращения колеса с внутренней стороны тоже обеспечивается сателлитами, и благодаря особой конструкции редуктора повышается угловая скорость наружного колеса. При этом главная передача работает все время.

Существенный недостаток

При всех существующих достоинствах, которыми обладает полный дифференциал, у него имеется один существенный недостаток, обусловленный особенностью его конструкции. Хотя, с одной стороны, это можно расценивать как плюс: передавать весь крутящий момент от двигателя на одно колесо. Но в основном это идет в минус, ведь менее загруженное колесо получает всю мощность, и автомобиль из-за этого не двигается.

Такое встречается в тех случаях, когда у одного из колес при определенных условиях сцепление с поверхностью дороги недостаточное. В этом случае вся мощность начинает переходить именно на него. В результате этого автомобиль останавливается, причем иногда даже резко, в зависимости от изначальной скорости. Яркий тому пример, наезд колесом на лужу или участок со льдом.

Бороться с данным недостатком можно при помощи блокировки дифференциала моста, что может быть осуществлено в автоматическом либо ручном режиме. Также с этой целью некоторые современные автомобили оснащаются системой курсовой устойчивости.

Разновидности дифференциала

Как выше было отмечено, ключевая особенность у всех механизмов одна и та же, но в то же время есть ряд различий. Так, существуют червячные, конические и цилиндрические дифференциалы. Причем, если колеса располагаются на одной оси, то редуктор содержит конические шестерни. У межосевого дифференциала они цилиндрической формы. Червячные модели являются универсальными.

Но, помимо этого, могут быть и другие варианты дифференциала:

  • Механизмы с полной блокировкой.
  • Вискомуфта.
  • Торсен.
  • Квайф.

Как можно заметить, каждый из перечисленных типов подразумевает блокировку дифференциала, которая, как выше было отмечено, бывает ручной либо автоматической. При этом первый тип включается водителем посредством кнопки либо тумблера, тогда как автоматика задействуется сама при необходимости.

Как правило, ручной блокировкой оснащается большинство внедорожников и включается водителем. К примеру, дифференциал на УАЗ, как раз, такой случай. Автоматическая система управляется электронным блоком управления, который при помощи датчиков анализирует состояние дорожного полотна.

Полная блокировка

Принудительная блокировка редуктора актуальна для внедорожников и грузовых автомобилей, что позволяет лучше преодолевать бездорожье. Обычно для ее включения служит специальная клавиша в салоне транспортного средства. Яркий тому пример – это установленный дифференциал на «Ниве» (ВАЗ-2121).

По сути, это ручной вид блокировки и ее рекомендуется включать лишь при движении по бездорожью для преодоления сложных препятствий. А при выезде на обычную дорогу ее следует отключать. В противном случае это грозит не только ухудшением управляемости автомобиля на твердом покрытии, но и износом шин.

Особенности вязкостной муфты

Представляет собой многодисковый механизм, где передающий момент увеличивается в связи с повышением разности в скорости вращения двух валов: ведущего и ведомого. Обычно такая схема актуальна для транспортных средств с полным постоянным приводом.

В основу работы вискомуфты для блокировки дифференциала на ВАЗ (или другого автомобиля) положено особенное свойство силиконовой жидкости. Если, к примеру, у масла при повышении температуры вязкость снижается, то здесь все наоборот – этот параметр тоже увеличивается. Сам механизм выглядит как цилиндр, где располагается набор перфорированных дисков, которые соединены с обоими валами. Также корпус заполнен этой жидкостью. На входной вал действует крутящий момент от двигателя через ведущий мост, а выходной отвечает за вращения колес.

При нормальном движении транспортного средства оба вала вращаются с одинаковой скоростью. Но стоит только одному из колес начать буксовать, входной вал основного главного моста вращается быстрее выходного. Вследствие трения о диски жидкость нагревается, что в итоге способствует передаче большей мощности на выходной вал.

Но, как и обычный дифференциал, вискомуфта тоже обладает недостатком. Для срабатывания механизма нужно определенное количество времени. К тому же, оптимальные параметры очень сложно подобрать. По этой причине большинство производителей предпочитают не иметь дело с подобным механизмом.

Дифференциал «Торсен»

Можно сказать, что данный дифференциал — это слияние двух английских слов: torque и sensing. Первое переводится как крутящий момент, а второе означает чувствительный к крутящему моменту. В корпусе сателлиты располагаются в плоскости, перпендикулярной к его оси. Между собой их объединяет прямозубое зацепление, в то время как с полуосевыми шестернями они соединены посредством червячной передачи.

При вхождении в поворот полуосевая шестерня, которая связана с отстающим колесом, приводит во вращение сателлит, а он уже передает вращение на другой сателлит шестерню полуоси. Благодаря такой жесткой кинематической связи колеса автомобиля вращаются с разной угловой скоростью.

При необходимости осуществляется блокировка механизма. Делается это за счет силы трения, которая возникает в червячной передаче из-за разности моментов на колесах. К сожалению, и у этой конструкции есть недостатки. Механизм довольно сложен в производстве и ремонте.

Самоблокирующийся механизм Quaife

Отличительной особенностью этого дифференциала является то, что сателлиты располагаются в параллельной плоскости к оси вращения корпуса и, к тому же, в два ряда. Крепятся они не на осях, а в закрытых отверстиях корпуса, которые имеются по обеим его сторонам.

При этом правый ряд, где содержится 3-5 сателлитов, сцеплен с правой шестерней полуоси, а левый ряд соединен, соответственно, с левой полуосью. Помимо этого, эти элементы от обоих рядов соединены друг с другом через один.

Когда у одного из колес снижается скорость вращения, соединенная с ней полуось и, соответственно, шестерня вращается медленнее, чем корпус заднего дифференциала, который приводит во вращение соединенный с ним сателлит. Он в свою очередь, передает эстафету другому такому же элементу, а уже тот на связанную с ним шестерню полуоси. В результате чего обеспечивается разная угловая скорость обоих колес на поворотах.

За счет разности крутящего момента на разных колесах возникает сила трения, которая приводит к блокировке дифференциал. Как итог – тяга автомобиля повышается. Подобные механизмы получили широкое распространение среди любителей тюнинга.

Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала). Первая часть.

Сначала немного поговорим о постановке задачи в общем виде, а затем перейдём к примерам интегрирования подстановкой. Допустим, в нас есть некий интеграл $\int g(x) \; dx$. Однако в таблице интегралов нужной формулы нет, да и разбить заданный интеграл на несколько табличных не удаётся (т.е. непосредственное интегрирование отпадает). Однако задача будет решена, если нам удастся найти некую подстановку $u=\varphi(x)$, которая сведёт наш интеграл $\int g(x) \; dx$ к какому-либо табличному интегралу $\int f(u) \; du=F(u)+C$. После применения формулы $\int f(u) \; du=F(u)+C$ нам останется только вернуть обратно переменную $x$. Формально это можно записать так:

$$\int g(x) \; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Проблема в том, как выбрать такую подстановку $u$. Для этого понадобится знание, во-первых, таблицы производных и умение её применять для дифференцирования сложных функций, а во-вторых, таблицы неопределенных интегралов. Кроме того, нам будет крайне необходима формула, которую я запишу ниже. Если $y=f(x)$, то:

Т.е. дифференциал некоторой функции равен производной этой функции, умноженной на дифференциал независимой переменной. Это правило очень важно, и именно оно позволит применять метод подстановки. Здесь же укажем пару частных случаев, которые получаются из формулы (1). Пусть $y=x+C$, где $C$ – некая константа (число, попросту говоря). Тогда, подставляя в формулу (1) вместо $y$ выражение $x+C$, получим следующее:

Так как $(x+C)’=x’+C’=1+0=1$, то указанная выше формула станет такой:

Запишем полученный результат отдельно, т.е.

Полученная формула означает, что прибавление константы под дифференциалом не изменяет оный дифференциал, т.е. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ и так далее.

Рассмотрим еще один частный случай для формулы (1). Пусть $y=Cx$, где $C$, опять-таки, является некоторой константой. Найдем дифференциал этой функции, подставляя в формулу (1) выражение $Cx$ вместо $y$:

Так как $(Cx)’=C\cdot (x)’=C\cdot 1=C$, то записанная выше формула $d(Cx)=(Cx)’dx$ станет такой: $d(Cx)=Cdx$. Если разделить обе части этой формулы на $C$ (при условии $C\neq 0$), то получим $\frac=dx$. Этот результат можно переписать в несколько иной форме:

Полученная формула говорит о том, что умножение выражения под дифференциалом на некую ненулевую константу требует введения соответствующего множителя, компенсирующего такое домножение. Например, $dx=\frac<1> <5>d(5x)$, $dx=-\frac<1> <19>d(-19x)$.

В примерах №1 и №2 формулы (2) и (3) будут рассмотрены подробно.

Замечание относительно формул

В данной теме будут использоваться как формулы 1-3, так и формулы из таблицы неопределённых интегралов, которые тоже имеют свои номера. Чтобы не было путаницы, условимся о следующем: если в теме встречается текст «используем формулу №1», то означает он буквально следующее «используем формулу №1, расположенную на этой странице«. Если нам понадобится формула из таблицы интегралов, то это будем оговаривать каждый раз отдельно. Например, так: «используем формулу №1 из таблицы интегралов».

И ещё одно небольшое примечание

Перед началом работы с примерами рекомендуется ознакомиться с материалом, изложенным в предыдущих темах, посвящённых понятию неопределённого интеграла и непосредственному интегрированию. Изложение материала в этой теме опирается на сведения, указанные в упомянутых темах.

Если мы обратимся к таблице неопределённых интегралов, то не сможем найти формулу, которая точно соответствует интегралу $\int \frac$. Наиболее близка к этому интегралу формула №2 таблицы интегралов, т.е. $\int \frac=\ln|u|+C$. Проблема в следующем: формула $\int \frac=\ln|u|+C$ предполагает, что в интеграле $\int \frac$ выражения в знаменателе и под дифференциалом должны быть одинаковы (и там и там расположена одна буква $u$). В нашем случае в $\int \frac$ под дифференциалом находится буква $x$, а в знаменателе – выражение $x+4$, т.е. налицо явное несоответствие табличной формуле. Попробуем «подогнать» наш интеграл под табличный. Что произойдёт, если под дифференциал вместо $x$ подставить $x+4$? Для ответа на этот вопрос применим формулу №1, подставив в неё выражение $x+4$ вместо $y$:

Это должен знать каждый водитель:  Беспилотные автомобили по-русски история одного изобретения

Так как $(x+4)’=x’+(4)’=1+0=1$, то равенство $ d(x+4)=(x+4)’dx $ станет таким:

Итак, $dx=d(x+4)$. Честно говоря, этот же результат можно было получить, просто подставив в формулу №2 вместо константы $C$ число $4$. В дальнейшем мы так и будем делать, а на первый раз разобрали процедуру получения равенства $dx=d(x+4)$ подробно. Но что даёт нам равенство $dx=d(x+4)$?

А даёт оно нам следующий вывод: если $dx=d(x+4)$, то в интеграл $\int \frac$ вместо $dx$ можно подставить $d(x+4)$, причём интеграл от этого не изменится:

Сделали мы это преобразование лишь для того, чтобы полученный интеграл стал полностью соответствовать табличной формуле $\int \frac=\ln|u|+C$. Чтобы такое соответствие стало совсем явным, заменим выражение $x+4$ буквой $u$ (т.е. сделаем подстановку $u=x+4$):

По сути, задача уже решена. Осталось лишь вернуть переменную $x$. Вспоминая, что $u=x+4$, получим: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Полное решение без пояснений выглядит так:

Если мы обратимся к таблице неопределённых интегралов, то не сможем найти формулу, которая точно соответствует интегралу $\int e^ <3x>dx$. Наиболее близка к этому интегралу формула №4 из таблицы интегралов, т.е. $\int e^u du=e^u+C$. Проблема в следующем: формула $\int e^u du=e^u+C$ предполагает, что в интеграле $\int e^u du$ выражения в степени числа $e$ и под дифференциалом должны быть одинаковы (и там и там расположена одна буква $u$). В нашем случае в $\int e^ <3x>dx$ под дифференциалом находится буква $x$, а в степени числа $e$ – выражение $3x$, т.е. налицо явное несоответствие табличной формуле. Попробуем «подогнать» наш интеграл под табличный. Что произойдёт, если под дифференциал вместо $x$ подставить $3x$? Для ответа на этот вопрос применим формулу №1, подставив в неё выражение $3x$ вместо $y$:

Так как $(3x)’=3\cdot (x)’=3\cdot 1=3$, то равенство $d(3x)=(3x)’dx$ станет таким:

Разделив обе части полученного равенства на $3$, будем иметь: $\frac<3>=dx$, т.е. $dx=\frac<1><3>\cdot d(3x)$. Вообще-то, равенство $dx=\frac<1><3>\cdot d(3x)$ можно было получить, просто подставив в формулу №3 вместо константы $C$ число $3$. В дальнейшем мы так и будем делать, а на первый раз разобрали процедуру получения равенства $dx=\frac<1><3>\cdot d(3x)$ подробно.

Что нам дало полученное равенство $dx=\frac<1><3>\cdot d(3x)$? Оно означает, что в интеграл $\int e^ <3x>dx$ вместо $dx$ можно подставить $\frac<1><3>\cdot d(3x)$, причём интеграл от этого не изменится:

Вынесем константу $\frac<1><3>$ за знак интеграла и заменим выражение $3x$ буквой $u$ (т.е. сделаем подстановку $u=3x$), после чего применим табличную формулу $\int e^u du=e^u+C$:

$$ \int e^ <3x>dx= \int e^ <3x>\cdot\frac<1> <3>d(3x)=\frac<1><3>\cdot \int e^ <3x>d(3x)=|u=3x|=\frac<1><3>\cdot\int e^u du=\frac<1><3>\cdot e^u+C.$$

Как и в предыдущем примере, нужно вернуть обратно исходную переменную $x$. Так как $u=3x$, то $\frac<1><3>\cdot e^u+C=\frac<1><3>\cdot e^<3x>+C$. Полное решение без комментариев выглядит так:

$$ \int e^ <3x>dx= \int e^ <3x>\cdot\frac<1> <3>d(3x)=\frac<1><3>\cdot \int e^ <3x>d(3x)=|u=3x|=\frac<1><3>\cdot\int e^u du=\frac<1><3>\cdot e^u+C=\frac<1><3>\cdot e^<3x>+C.$$

Найти $\int (3x+2)^2 dx$.

Для нахождения данного интеграла применим два способа. Первый способ состоит в раскрытии скобок и непосредственном интегрировании. Второй способ заключается в применении метода подстановки.

Первый способ

Так как $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, то $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Представляя интеграл $\int (9x^2+12x+4)dx$ в виде суммы трёх интегралов и вынося константы за знаки соответствующих интегралов, получим:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx $$

Чтобы найти $\int x^2 dx$ подставим $u=x$ и $\alpha=2$ в формулу №1 таблицы интегралов: $\int x^2 dx=\frac><2+1>+C=\frac<3>+C$. Аналогично, подставляя $u=x$ и $\alpha=1$ в ту же формулу из таблицы, будем иметь: $\int x^1 dx=\frac><1+1>+C=\frac<2>+C$. Так как $\int 1 dx=x+C$, то:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac<3>+12\cdot \frac<2>+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

Полное решение без пояснений таково:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac<3>+12\cdot \frac<2>+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

Второй способ

Скобки раскрывать не будем. Попробуем сделать так, чтобы под дифференциалом вместо $x$ появилось выражение $3x+2$. Это позволит ввести новую переменную и применить табличную формулу. Нам нужно, чтобы под дифференциалом возник множитель $3$, посему подставляя в формулу №3 значение $C=3$, получим $d(x)=\frac<1><3>d(3x)$. Кроме того, под дифференциалом не хватает слагаемого $2$. Согласно формуле №2 прибавление константы под знаком дифференциала не меняет оный дифференциал, т.е. $\frac<1><3>d(3x)=\frac<1><3>d(3x+2)$. Из условий $d(x)=\frac<1><3>d(3x)$ и $\frac<1><3>d(3x)=\frac<1><3>d(3x+2)$ имеем: $dx=\frac<1><3>d(3x+2)$.

Отмечу, что равенство $dx=\frac<1><3>d(3x+2)$ можно получить и иным способом:

Используем полученное равенство $dx=\frac<1><3>d(3x+2)$, подставив в интеграл $\int (3x+2)^2 dx$ выражение $\frac<1><3>d(3x+2)$ вместо $dx$. Константу $\frac<1><3>$ вынесем за знак получившегося интеграла:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac<1><3>d(3x+2)=\frac<1><3>\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Дальнейшее решение состоит в осуществлении подстановки $u=3x+2$ и применении формулы №1 из таблицы интегралов:

Возвращая вместо $u$ выражение $3x+2$, получим:

Полное решение без пояснений таково:

Предвижу пару вопросов, поэтому попробую сформулировать их дать ответы.

Что-то тут не сходится. Когда мы решали первым способом, что получили, что $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. При решении вторым путём, ответ стал таким: $\int (3x+2)^2 dx=\frac<(3x+2)^3><9>+C$. Однако перейти от второго ответа к первому не получается! Если раскрыть скобки, то получаем следующее:

Ответы не совпадают! Откуда взялась лишняя дробь $\frac<8><9>$?

Этот вопрос говорит о том, что Вам стоит обратиться к предыдущим темам. Почитать тему про понятие неопределённого интеграла (уделив особое внимание вопросу №2 в конце страницы) и непосредственному интегрированию (стоит обратить внимание на вопрос №4). В указанных темах этот вопрос освещается подробно. Если уж совсем коротко, то интегральная константа $C$ может быть представлена в разных формах. Например, в нашем случае переобозначив $C_1=C+\frac<8><9>$, получим:

Посему никакого противоречия нет, ответ может быть записан как в форме $3x^3+6x^2+4x+C$, так и в виде $\frac<(3x+2)^3><9>+C$.

Зачем было решать вторым способом? Это же лишнее усложнение! Зачем применять кучу лишних формул, чтобы найти ответ, который первым способом получается в пару действий? Всего-то и нужно было, что скобки раскрыть, применив школьную формулу.

Ну, во-первых, не такое уж это и усложнение. Когда вы разберётесь в методе подстановки, то решения подобных примеров станете делать в одну строчку: $\int (3x+2)^2 dx=\frac<1><3>\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=\frac<(3x+2)^3><9>+C$. Однако давайте взглянем на этот пример по-иному. Представьте, что нужно вычислить не $\int (3x+2)^2 dx$, а $\int (3x+2)^ <200>dx$. При решении вторым способом придётся лишь чуток подправить степени и ответ будет готов:

А теперь представьте, что этот же интеграл $\int (3x+2)^ <200>dx$ требуется взять первым способом. Для начала нужно будет раскрыть скобку $(3x+2)^<200>$, получив при этом сумму в двести одно слагаемое! А потом каждое слагаемое ещё и проинтегрировать придётся. Поэтому вывод тут такой: для больших степеней метод непосредственного интегрирования не годится. Второй способ, несмотря на кажущуюся сложность, более практичен.

Найти $\int \sin2x dx$.

Решение этого примера проведём тремя различными способами.

Первый способ

Заглянем в таблицу интегралов. Ниболее близка к нашему примеру формула №5 из этой таблицы, т.е. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Чтобы подогнать интеграл $\int \sin2x dx$ под вид $\int \sin u du$, воспользуемся формулой №3, внеся множитель $2$ под знак дифференциала. Собственно, мы это делали уже в примере №2, так что обойдёмся без подробных комментариев:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac<1><2>\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac<1><2>d(2x)=\\ =\frac<1> <2>\int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac<1> <2>\int \sin u du=-\frac<1><2>\cos u+C=-\frac<1><2>\cos 2x+C. $$

Ответ: $\int \sin2x dx=-\frac<1><2>\cos 2x+C$.

Второй способ

Для решения вторым способом применим простую тригонометрическую формулу: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим вместо $\sin 2x$ выражение $2 \sin x \cos x$, при этом константу $2$ вынесем за знак интеграла:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Какова цель такого преобразования? В таблице интеграла $\int \sin x\cos x dx$ нет, но мы можем немного препобразовать $\int \sin x\cos x dx$, чтобы он стал больше походить на табличный. Для этого найдем $d(\cos x)$, используя формулу №1. Подставим в упомянутую формулу $\cos x$ вместо $y$:

$$ d(\cos x)=(\cos x)’dx=-\sin x dx. $$

Так как $d(\cos x)=-\sin x dx$, то $\sin x dx=-d(\cos x)$. Так как $\sin x dx=-d(\cos x)$, то мы можем в $\int \sin x\cos x dx$ вместо $\sin x dx$ подставить $-d(\cos x)$. Значение интеграла при этом не изменится:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Говоря иными словами, мы внесли под дифференциал $\cos x$. Теперь, сделав подстановку $u=\cos x$, мы сможем применить формулу №1 из таблицы интегралов:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac<2>+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Ответ получен. Вообще, можно не вводить букву $u$. Когда вы приобретёте достаточный навык в решении подобного рода интегралов, то необходимость в дополнительных обозначениях отпадёт. Полное решение без пояснений таково:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac<2>+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Ответ: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Третий способ

Для решения третьим способом применим ту же тригонометрическую формулу: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим вместо $\sin 2x$ выражение $2 \sin x \cos x$, при этом константу $2$ вынесем за знак интеграла:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Найдем $d(\sin x)$, используя формулу №1. Подставим в упомянутую формулу $\sin x$ вместо $y$:

$$ d(\sin x)=(\sin x)’dx=\cos x dx. $$

Итак, $d(\sin x)=\cos x dx$. Из полученного равенства следует, что мы можем в $\int \sin x\cos x dx$ вместо $\cos x dx$ подставить $d(\sin x)$. Значение интеграла при этом не изменится:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Говоря иными словами, мы внесли под дифференциал $\sin x$. Теперь, сделав подстановку $u=\sin x$, мы сможем применить формулу №1 из таблицы интегралов:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac<2>+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Ответ получен. Полное решение без пояснений имеет вид:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac<2>+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Ответ: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Возможно, что после прочтения этого примера, особенно трёх различных (на первый взгляд) ответов, возникнет вопрос. Рассмотрим его.

Погодите. Ответы должны совпадать, но они отличаются! В примере №3 различие было всего-то в константе $\frac<8><9>$, но здесь даже внешне ответы не похожи: $-\frac<1><2>\cos 2x+C$, $-\cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Неужели всё дело опять в интегральной константе $C$?

Да, дело именно в этой константе. Давайте сведём все ответы к одной форме, после чего это различие в константах станет совсем явным. Начнём с $-\frac<1><2>\cos 2x+C$. Используем простое тригонометрическое равенство: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Тогда выражение $-\frac<1><2>\cos 2x+C$ станет таким:

Теперь поработаем со вторым ответом, т.е. $-\cos^2x+C$. Так как $\cos^2 x=1-\sin^2x$, то:

Три ответа, которые мы получили в примере №4, стали такими: $\sin^2 x+C-\frac<1><2>$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+C$. Полагаю, теперь видно, что отличаются они друг от друга лишь некоторым числом. Т.е. дело опять оказалось в интегральной константе. Как видите, небольшое различие в интегральной константе способно, в принципе, сильно изменить внешний вид ответа, – но от этого ответ не перестанет быть правильным. К чему я веду: если в сборнике задач вы увидите ответ, не совпадающий с вашим, то это вовсе не означает, что ваш ответ неверен. Возможно, что вы просто пришли к ответу иным способом, чем предполагал автор задачи. А убедиться в правильности ответа поможет проверка, основанная на определении неопределённого интеграла. Например, если интеграл $\int \sin2x dx=-\frac<1><2>\cos 2x+C$ найден верно, то должно выполняться равенство $\left( -\frac<1><2>\cos 2x+C\right)’=\sin 2x$. Вот и проверим, правда ли, что производная от $\left( -\frac<1><2>\cos 2x+C\right)$ равна подынтегральной функции $\sin 2x$:

$$ \left( -\frac<1><2>\cos 2x+C\right)’=\left( -\frac<1><2>\cos 2x\right)’+C’=-\frac<1><2>\cdot(\cos 2x)’+0=\\ =-\frac<1><2>\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)’=-\frac<1><2>\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x. $$

Проверка пройдена успешно. Равенство $\left( -\frac<1><2>\cos 2x+C\right)’=\sin 2x$ выполнено, поэтому формула $\int \sin2x dx=-\frac<1><2>\cos 2x+C$ верна. В примере №5 также осуществим проверку результата, дабы убедиться в его правильности. Наличие проверки не является обязательным, хотя в некоторых типовых расчётах и контрольных работах требование проверять результат присутствует.

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Дифференциалом -го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.

Случай независимой переменной

Пусть — функция независимой переменной , имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции

где — некоторое приращение независимой переменной , которое мы задаем сами и которое не зависит от . По определению

Переменной является аргумент . Значит, для дифференциала величина является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

Для вычисления дифференциала применим формулу дифференциала первого порядка к функции . Тогда получим:

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала -го порядка:

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции

Решение. По формуле

Найдем третью производную заданной функции:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Всё про автомобили
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: